パラドックスとは、正しそうに見える前提と、妥当に見える推論から、受け入れがたい結論が得られること！！ウィキペディアより。

他分野のパラドックスがありますが、今回はサイエンスガイドの授業で提出したレポートですｗ

確率論のパラドックスで、私自身は知識社会の数理という授業で一番最初に知りました。期待値の利用が鍵で面白いと面白いと思うのです♪

参加料を払い、偏りのないコインを表が出るまで投げ続け、表がでたときに、賞金をもらえる大会がある(表が出たら終了)。 

もらえる賞金は1回目に表がでたら1００円、

1回目は裏で2回目に表がでれば倍の2００円、

2回目まで裏で3回目が表ならまたその倍の4００円というふうに倍々でふえる。

つまり表が出るまでに投げた回数をｎとすると、１００×2^(ｎ-1)円もらえる。

参加料の金額が何円までなら払っても損ではないと言えるだろうか。

このような場合、賞金の期待値を求めて期待値よりも参加料が安ければ、確率的には平均よりも得になると考える。

１回目で表が出る確率は１/２、1回目は裏で2回目に表が出る確率は１/４であり、ｎ-1回連続で裏が出た後、ｎ回目で表が出る確率は１/2^ｎである。

賞金の期待値をWとして計算してみると、

　　　∞

W＝∑（１/2^ｎ×１００×2^(ｎ-1)）＝５０＋５０＋５０＋５０＋…＝∞

 　ｋ＝１

と無限に発散する。したがって、期待値によって判断するならば、賭け金がいくら大金であっても参加すべきであるということになる。

しかし１/１０２４の確率で裏が９回出ても(１０回目が表)５１２００円であり、１/2の確率で１００円なので、参加費が５万円以上であれば、１０２３/１０２４の確率で得でない。

このパラドックスが起こる問題点

表が出る回数を無限大まで考えているが、本当にその低い確率が発生するかというとそれは天文学的な確率であり、その際の多くの賞金を期待できるかというとそうではない。世界の人口が７０億人として、３２回連続で裏が出ることはこの世界のうちたった１人を選ぶ確率よりの低いのである。ということは、３２回連続で裏が出ることは世界中の中でたった一人に選ばれることよりも難しい。ゆえに、参加者本人はその確率になれることがまずない。なので、回数は各自の期待できる値で期待値を取るべきである。だいたい１０回連続で表を出ること期待すること自体、人間として浅はかだろう。

この期待値の無限大への発散は確率を無限まで追いつめ、その天文的確率に対して高額な賞金を掛けることで、無限になってしまったのである。